5.1 Equiprobabilidad y simetría

Históricamente, el concepto de probabilidad nació en el contexto de juegos de azar, y cómo definir apuestas ajustas o equitativas. Por ejemplo:

• Supongamos que nos cuesta 1 peso entrar a un juego de dados, y que ganamos si tiramos un 3. ¿Cuánto dinero deberíamos ganar si sale un 3 para que el costo de entrada sea justo?

El argumento iría como sigue: existen 6 posibles resultados, y como el dado se tira bien y está bien hecho, entonces sería lo mismo apostar a cualquier número. Entonces, si seis personas entran al juego apostando a distintos números, cada uno pagando 1 peso, sería justo que el ganador se llevara 6 pesos.

• En este caso, definimos la probabilidad de obtener un 3 (o cualquier otro número) como 1/6, que es cociente entre la apuesta inicial entre la cantidad recibida si ganamos la apuesta justa.

Nótese que el criterio de “justicia” proviene de simetrías del experimento: si el dado no fuera simétrico, por ejemplo, esta sería una manera mala de definir probabilidades.

En general, una manera de difinir probabilidad es la siguiente:

Con este enfoque podemos resolver diversos problemas de probabilidad, por ejemplo:

5.2 Probabilidad y frecuencias relativas

La conexión entre experimentos reales y modelos de probabilidad, está en que si repetimos muchas veces el experimento, entonces las frecuencias relativas de ocurrencia de los eventos aproxima a las probabilidades teóricas. Por ejemplo, si tiramos muchos volados con una moneda bien balanceada, esperamos obtener alrededor de 1/2 de soles y 1/2 de águilas, y si tiramos un dado muchas veces esperamos obtener alrededor de 1/6 de las tiradas un 5, por ejemplo (bajo los modelos de resultados equiprobables correspondientes).

En realidad, esta es otra definición de probabilidad en términos de repeticiones de experimentos.

Aunque podríamos hacer algunos experimentos físicos más reales, para este curso podemos hacer simulaciones de computadora del experimento que nos interesa.

5.3 Datos y modelos de probabilidad

¿Cómo podemos usar modelos de probablidad para describir datos observados? La idea (simplificada) es la siguiente:

• Hacemos una hipótesis acerca de cómo es el modelo de probabilidad asociado a un fenómeno
• Observamos una muestra de datos del fenómeno que nos interesa
• Evaluamos si las fluctuaciones observadas debidas a la información limitada que tenemos (una muestra) son consistentes con el modelo de probabilidad

Consideremos el ejemplo de los dados. Supongamos que lanzamos el dado un número no muy grande de veces, y observamos:

frecs_obs <- tibble(resultado = 1:6,
                    n = c(5, 7, 5, 10, 8, 5)) %>% 
   mutate(frec = n / sum(n))
frecs_obs %>% kable(digits = 2)

Y nos preguntamos si este resultado podría ser observado bajo los supuestos de nuestro modelo de probabilidad, que en este caso, es el de resultados equiprobables. Podemos por ejemplo graficar los datos junto con simulaciones del modelo, en búsqueda de desajustes:

set.seed(8834)
# una vez
sim_exp <- map_df(1:40, ~ c(id = .x, resultado = simular_dado()))
# 19 veces
sims_exp <- map_df(1:19, function(x){
         sims <- map_df(1:40, ~ c(id = .x, resultado = simular_dado()) )
         sims$rep <- x
         sims
         })

frec_sims <- sims_exp %>% 
   group_by(rep, resultado) %>% 
   summarise(n = n()) %>% 
   mutate(frec = n / sum(n))
#> `summarise()` has grouped output by 'rep'. You can override using the `.groups` argument.
obs_sims_tbl <- bind_rows(frec_sims, frecs_obs %>% mutate(rep = 20))
ggplot(obs_sims_tbl, aes(x = resultado, y = frec)) +
   geom_col() +
   facet_wrap(~rep)

En este caso, no vemos ninguna característica de los datos observados que no sea consistente las fluctuaciones esperadas para un tamaño de muestra de \(n=40\).

Pregunta: ¿qué defecto le ves a esta gráfica que tiene los datos en la posición 20? ¿Cómo podríamos hacer una evaluación más apropiada de la calidad del ajuste?

Observación: como veremos, muchas veces proponemos modelos que tienen parámetros que deben ser estimados con la muestra. Este caso más común es más complejo que el explicado arriba, pero el proceso es similar.

5.4 Espacios no equiprobables

Depende cómo planteemos nuestro experimento aleatorio, puede ser o no apropiado el modelo equiprobable. Veremos ahora algunos ejemplos donde construimos modelos no equiprobables

5.5 Reglas básicas de probabilidad

Tanto modelos equiprobables como la interpretación frecuentista de la probabilidad resultan en un conjunto de reglas útiles para operar con probabilidades. Estas son reglas generales que aplican independientemente de la interpretación particular de la probabilidad que utilicemos.

1. La probabilidad del evento cierto es 1 Si \(A\) es el evento que cubre todos los posibles resultados, entonces \(P(A) = 1\).

Asegúrate que puedes demostrar esto para un espacio equiprobable, por ejemplo.

2. La probabilidad de que un evento \(A\) no ocurra es \(1- P(A)\).

¿Por qué es cierto esto en espacios equiprobables? ¿Y según la definición frecuentista? Usa esta regla y el ejemplo anterior para calcular la probabilidad de tirar una suma menor a 12 cuando tiramos dos dados.

Esto normalmente lo escribimos como \(P(A^c) = 1 - P(A)\).

Decimos que dos eventos \(A\) y \(B\) son disjuntos cuando no pueden ocurrir simultánemente, o en otras palabras, el conjunto de resultados donde ocurre \(A\) tiene intersección vacía con el conjunto de resultados donde ocurre \(B\).

3. La probabilidad de que ocurra un resultado dentro de un conjunto de eventos disjuntos es igual a la suma de las probabilidades de dichos eventos

Esto lo podemos escribir como sigue: si \(A_1, A_2, \dots, A_n\) son eventos disjuntos, entonces \[P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)\]

Utiliza esta regla para

• Calcula la probabilidad de tirar una suma mayor a 9 en dos tiradas de dados.
• Calcula la probabilidad de obtener un par al sacar dos cartas de una baraja usual de póquer.
• Más difícil: hay una caja con \(100\) pelotas, y una de ellas es dorada. Si sacamos al azar \(20\) pelotas, una a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que nos salga la pelota dorada? ¿ y si sacamos 57 pelotas?

Soluciones:

• Para tirar más de 9, podemos tirar 10, 11 o 12, así que \(P(A) = P(A_{10}\cup A_{11} \cup A_{12})\). Estos útlimos tres eventos son mutuamente excluyentes, así que por la regla de la suma, \[P(A) = P(A_{10}) + P(A_{11}) + P(A_{12})\] y consultando nuestra tabla de arriba, \[P(A) = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = 1/6\]
• Podemos sacar \(52(51)\) pares distintos. Ahora calculamos la probabidad de sacar un par particular, por ejemplo de ases. Hay \(4(3)=12\) distintos pares de ases (en el orden que los sacamos). Lo mismo podemos decir de pares de 2, 3, etc. Así que sumando sobre cada una de estas posibilidades obtenemos:

\[P(A) = 13\frac{4(3)}{52(51)} \approx 0.0588\] También podríamos calcular de la siguiente forma: sacamos la primera carta y la vemos. La siguiente carta puede ser una de 51 restantes, y solo con tres de ellas completamos un par, de forma que \[P(A) = 3 / 51 \approx 0.0588\]

• Sea \(D\) el evento donde en el proceso sacamos la pelota dorada, y sea \(D_1\) el evento donde sacamos la pelota dorada en nuestra primera extracción, \(D_2\) si la sacamos en la segunda, etc. Tenemos que \[D =D_1 \cup D_2 \cup\cdots \cup D_{20}\] (sacamos la dorada si y sólo si la sacamos en la extracción 1, 2 , etc. hasta 20) Además, solo hay una pelota dorada, de manera que \(D_i\cap D_j= \emptyset\), es decir, no pueden ocurrir juntos \(D_1\) y \(D_2\), \(D_5\) y \(D_11\), etc., así que por la regla de la suma \[P(D) = P(D_1) + P(D_2) + \dots + P(D_{20})\] Finalmente, \(P(D_1)= 1/100\), pues hay 100 pelotas y todas tienen igual probabilidad de aparecen en la primera extracción. Pero también \(P(D_2) = 1/100\), pues todas las pelotas tienen la misma probabilidad de aparecer en la segunda extracción. Se sigue entonces que, haciendo la suma de arriba, que: \(P(D) = 20(\frac{1}{100}) = 0.20\)

5.6 Simulación y probabilidad

Usando la interpetación frecuentista, también es posible resolver una variedad de problemas de probabilidad usando simulación. La idea es, si queremos aproximar la probabilidad \(P(E)\) de un evento es:

1. Definimos el espacio de resultados del experimento aleatorio.
2. Simulamos el experimento aleatorio un número grande de veces.
3. Calculamos para cuáles de esas simulaciones se cumple el evento \(E\)
4. Estimamos la frecuencia relativa de ocurrencia de \(E\) a lo largo de todas las simulaciones.

sim_dados <- function(num_dados = 2, num_caras = 6){
   resultado <- sample(1:num_caras, num_dados, replace = TRUE)
   names(resultado) <- paste0("dado_", 1:num_dados)
   resultado
}
sim_dados()
#> dado_1 dado_2 
#>      5      3

set.seed(2323)
sims <- map_df(1:10000, ~ sim_dados())
sims
#> # A tibble: 10,000 x 2
#>    dado_1 dado_2
#>     <int>  <int>
#>  1      5      6
#>  2      3      3
#>  3      2      5
#>  4      3      5
#>  5      6      4
#>  6      2      2
#>  7      3      6
#>  8      6      5
#>  9      3      4
#> 10      1      1
#> # … with 9,990 more rows

sims_e <- 
   sims %>% 
   mutate(suma = dado_1 + dado_2) %>% 
   mutate(evento_E = (suma > 9)) 
sims_e
#> # A tibble: 10,000 x 4
#>    dado_1 dado_2  suma evento_E
#>     <int>  <int> <int> <lgl>   
#>  1      5      6    11 TRUE    
#>  2      3      3     6 FALSE   
#>  3      2      5     7 FALSE   
#>  4      3      5     8 FALSE   
#>  5      6      4    10 TRUE    
#>  6      2      2     4 FALSE   
#>  7      3      6     9 FALSE   
#>  8      6      5    11 TRUE    
#>  9      3      4     7 FALSE   
#> 10      1      1     2 FALSE   
#> # … with 9,990 more rows

sims_e %>% 
   summarise(frec_e = mean(evento_E))
#> # A tibble: 1 x 1
#>   frec_e
#>    <dbl>
#> 1  0.169

set.seed(232)
pelotas <- c("dorada", rep("otra", 99))
sim_extraccion <- function(){
    sample(pelotas, 20, replace = FALSE)
}
sim_extraccion()
#>  [1] "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra"
#> [11] "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra"

sims_pelotas <- map(1:10000, ~ sim_extraccion())
sims_pelotas[1:2]
#> [[1]]
#>  [1] "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"  
#>  [9] "dorada" "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"   "otra"  
#> [17] "otra"   "otra"   "otra"   "otra"  
#> 
#> [[2]]
#>  [1] "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra"
#> [11] "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra" "otra"

evento_dorada <- map_lgl(sims_pelotas, ~ any(str_detect(.x, "dorada")))
evento_dorada[1:10]                   
#>  [1]  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE  TRUE

mean(evento_dorada)
#> [1] 0.2007

simular_3_puntos <- function(){
   puntos_angulo <- 0:14 * (2  *pi / 15)
   sample(puntos_angulo, 3)
}
simular_3_puntos()
#> [1] 3.769911 3.351032 1.675516

es_equilatero <- function(tres_puntos){
   tol <- 10^(-6)
   puntos_ord <- sort(tres_puntos)
   dif_1 <- puntos_ord[3] - puntos_ord[2]
   dif_2 <- puntos_ord[2] - puntos_ord[1]
   dif_3 <- 2*pi + puntos_ord[1] - puntos_ord[3]
   if(abs(dif_1 - dif_2) < tol & abs(dif_2 - dif_3) < tol){
      equilatero <- TRUE
   } else {
      equilatero <- FALSE
   }
   equilatero
}

sims_puntos <- map(1:50000, ~ simular_3_puntos())

evento <- map_lgl(sims_puntos, ~ es_equilatero(.x))

mean(evento)
#> [1] 0.01168

5.7 Probabilidad subjetiva

Existe otra manera más flexible de interpretar la probabilidad que tiene que ver con un “grado de creencia” en que un evento va a ocurrir. Por ejemplo, el evento \(A\) podría ser “va a llover mañana,” y según mi conocimiento establezco que \[P(A) = 0.25\]

Esta es una probablidad subjetiva pero no arbitraria. Para entender por qué es eso, pensemos en un juego de azar que consiste jugar una lotería de 100 boletos, donde podemos jugar con un número de boletos dado. Comparamos entonces dos alternativas:

1. Si \(A\) ocurre, es decir, llueve mañana, entonces gano 1000 pesos.
2. La lotería de 100 boletos tiene un único premio de 1000 pesos.

Entonces me puedo preguntar:

• ¿Qué prefiero, jugar 1 o jugar 2 con 5 boletos?

Si prefiero 1, entonces creo que \(P(A)>0.05\). Ahora puedo preguntarme:

• ¿Qué prefiero, jugar 1 o jugar 2 con 20 boletos?

Si prefiero 1, entonces creo que \(P(A)>0.20\) Sin embargo, probablemente si me pregunto si prefiero jugar 1 o jugar 2 con 90 boletos, prefería jugar la lotería, de modo yo creo que \(P(A)<0.90.\)

Con estos ejercicios de preferencias sobre apuestas comparando con juegos de azar simples, puedo ver cuál es la probabilidad que yo le asigno a cualquier evento. Es posible demostrar que una probabilidad definida de esta manera cumple todas las reglas de probabilidad que mostramos arriba (si mis decisiones son racionales). Es posible definir modelos de probabilidad con este enfoque subjetivo, y es posible operar con ellos de manera usual con la maquinaria matemática.

Lo poderoso de este enfoque es que nos permite atacar problemas que 1) no está claro cómo podrían derivarse a partir de modelos equiprobables, y 2) no está claro que sea posible reproducir el experimento muchas veces para ver cual es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento. Por ejemplo:

• ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona X contraiga una enfermedad particular?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato Y gane una elección?
• ¿Qué tan probable es que el próximo año el crecimiento del PIB sea mayor a 1%?

En todos estos casos importantes donde tenemos que tomar decisiones, la única alternativa real es pensar en términos de probabilidad subjetiva.

En la práctica, este tipo de enfoque se utiliza para poner probabilidades sobre cantidades o aspectos difíciles de medir directamente pero que son relativamente simples, y luego se utilizan modelos y reglas de probabilidad para producir otras probabilidades de interés más complicadas.

5.8 Probabilidad subjetiva y calibración frecuentista

Como podemos imaginarnos, para muchas decisiones importantes, el enfoque subjetivo por sí solo puede no ser suficiente. Por ejemplo, imaginemos que trabajamos en INEGI queremos estimar el ingreso total de los hogares en México. Sería difícil proponer para esta tarea un enfoque puramente subjetivo.

En estos caso, podemos usar un enfoque donde utilizamos las probabilidades de manera subjetiva (por ejemplo elicitadas de un pánel de expertos), pero demostramos también que nuestro método tiene propiedades frecuentistas apropiadas: por ejemplo, que nuestros intervalos de 95% de estimación son realmente de 95%. Esto normalmente se cumple 1) Checando supuestos de nuestro modelo 2) Sometiendo nuestro método a distintos escenarios de estimación, y checando que se cumplen estimaciones frecuentistas apropiadas. En realidad, usualmente estos dos últimos pasos, 1 y 2, deben ser llevados a cabo no importa el enfoque de interpretación que utilicemos, pues cualquier método, frecuentista o subjetivo, tiene condiciones bajo las que puede fallar.